Error Cuadrático Medio

Sea $\hat{\theta }=g(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ un estimador de $\theta$. El error cuadrático medio de $\hat{\theta }$ se define como

ECM(\hat{\theta})=E(\hat{\theta}-\theta)^{2}=V(\hat{\theta})+[\theta-E(\hat{\theta})]^{2} $$El término $\theta-E(\hat{\theta})$ es el sesgo del estimador $\hat{\theta}$ y puede ser positivo o negativo o cero. El $ECM(\hat{\theta})$ es la suma de dos términos no negativos. Entonces si $\hat{\theta}$ es un estimador insesgado de $\theta$ esto implica que

ECM(\hat{\theta})=V(\hat{\theta})

$$Verificando$$

\begin{align} ECM(\hat{\theta})=E(\hat{\theta}-\theta)^{2}=E([\hat{\theta}-E(\hat{\theta})]-[\theta-E(\hat{\theta})])^{2} \ =E{[\hat{\theta}-E(\hat{\theta})]^{2}}-2[\theta-E(\hat{\theta})]E[\hat{\theta}-E(\hat{\theta})]+E{(\theta-E(\hat{\theta)})^{2}} \ =V(\hat{\theta})+[\theta-E(\hat{\theta})]^{2} \end{align}